\[ \tan 1^\circ \times \tan 2^\circ \times \tan 3^\circ \ldots \times \tan 89^\circ \] \[ = [\tan 1^\circ \times \tan 89^\circ] \times [\tan 2^\circ \times \tan 88^\circ] \times [\tan 3^\circ \times \tan 87^\circ] \ldots \times [\tan 44^\circ \times \tan 46^\circ] \times \tan 45^\circ \] \[ = [\tan 1^\circ \times \tan(90^\circ - 1^\circ)] \times [\tan 2^\circ \times \tan(90^\circ - 2^\circ)] \times [\tan 3^\circ \times \tan(90^\circ - 3^\circ)] \ldots \times [\tan 44^\circ \times \tan(90^\circ - 44^\circ)] \times \tan 45^\circ \] \[ = [\tan 1^\circ \times \cot 1^\circ] \times [\tan 2^\circ \times \cot 2^\circ] \times [\tan 3^\circ \times \cot 3^\circ] \ldots \times [\tan 44^\circ \times \cot 44^\circ] \times \tan 45^\circ \] \[ = 1 \times 1 \times 1 \ldots \times 1 \times 1 = 1 \] Therefore, the value of \[ \tan 1^\circ \times \tan 2^\circ \times \tan 3^\circ \ldots \times \tan 89^\circ = 1 \]